「マンハッタン距離」の基礎知識

「マンハッタン距離」の基礎知識

マンハッタン距離とは?

-マンハッタン距離とは？-

マンハッタン距離とは、2つの点間の距離を表す指標で、市街地を碁盤の目に区分けしたときの、その2点間の縦方向と横方向の距離の合計と定義されます。その名前は、碁盤の目のように区分けされたマンハッタンの街路構造に由来しています。

数学におけるマンハッタン距離

数学におけるマンハッタン距離とは、2つの点間の距離を、縦方向と横方向の距離の和として求める距離の測り方です。この距離は、碁盤の目状の格子状の平面上で、2つの点が占める交点間のブロック数を数えることで得ることができます。この距離の測り方は、マンハッタン（ニューヨーク市）の碁盤の目のように整然とした街並みにちなんで名付けられました。

数学的には、2点（x1, y1）と（x2, y2）間のマンハッタン距離|d|は次の式で表されます。

|d| = |x1 – x2| + |y1 – y2|

ここで、|・|は絶対値を表します。この距離は、2点間の最短経路が縦方向または横方向の直線のみで構成されている場合に役立ちます。

統計学におけるマンハッタン距離

統計学では、マンハッタン距離は、2 つのデータポイント間の距離を決定するための重要な測定値です。2 つのデータポイントの距離は、対応する座標間の各絶対値差の合計として定義されます。

たとえば、2 次元空間に 2 つの点 A（x1、y1）と B（x2、y2）があるとします。マンハッタン距離は次のように計算できます。

距離 = |x1 – x2| + |y1 – y2|

統計学において、マンハッタン距離は、クラスター分析、次元削減、異常値の検出など、さまざまな用途で使用されます。マンハッタン距離は、ユークリッド距離よりもロバストで効率的であることで知られており、スパースデータやハイパーパラメーターに敏感なモデルに特に適しています。

機械学習におけるマンハッタン距離

の「機械学習におけるマンハッタン距離」では、マンハッタン距離が機械学習タスクで広く使用されている理由について説明しています。マンハッタン距離は、データポイント間の類似性を測定するのに優れており、画像処理や自然言語処理などの分野で活用されています。また、計算が容易なため、大規模データセットを効率的に処理することができます。さらに、マンハッタン距離は行列演算に適しているため、機械学習アルゴリズムへの組み込みが容易です。

ユークリッド距離との違い

ユークリッド距離は、空間内の2点間の距離を計算するための最もよく知られた距離の測定方法です。一方で、マンハッタン距離は、より限定的な距離の測定方法で、2点間の縦方向および横方向の距離の合計を計算します。

ユークリッド距離は、2点間の直線距離を表すのに対し、マンハッタン距離は、2点間の通りをブロック単位で移動する距離を表します。たとえば、平面上の格子状のグリッドで、2点が5ブロック離れている場合、ユークリッド距離は約7.07ブロックですが、マンハッタン距離は5ブロックです。