幾何平均を理解しよう！数学・統計学・機械学習での意味
AI初心者
先生、「幾何平均」という用語を教えてください。
AI研究家
幾何平均とは、データのn乗根*1を、データの数で割ったものです。相乗平均とも呼ばれます。
AI初心者
つまり、乗算した値のn乗根を、データの数で割るということですか？
AI研究家
その通りです。例えば、データが2、4、8の場合、幾何平均は2です。これは、2 × 4 × 8の3乗根を3で割った値に等しくなります。
幾何平均とは。
AI関連用語である「幾何平均」は、数学、統計学、機械学習において、n乗根*1をとる手法のことです。幾何平均を「相乗平均」と呼ぶこともあります。
幾何平均とは何か
-幾何平均とは何か-
幾何平均とは、データセットの各数値の n 乗根の積の n 乗根として計算される特殊な平均値です。言い換えると、データセットの要素の割合的な変化率の平均です。たとえば、ある株の価格が最初は 10 ドル、2 回目は 15 ドル、3 回目は 20 ドルだった場合、その幾何平均は 15 ドルです。(10 * 15 * 20)^(1/3) = 15。これは、株価が各期間で 50% ずつ増加したことを示しています。
算術平均との違い
算術平均との違いが重要な要素です。算術平均は、数値を単純に合計してデータの個数で割ったものです。対照的に、幾何平均は、数値を乗算してデータの個数の n 乗根を取ります。これは、数値が同じ倍率で増加または減少する場合に、より適切な平均値を表す場合があります。例えば、ある投資が 3 年間連続して 2 倍になった場合、その幾何平均は毎年 2^(1/3) = 1.26 倍になります。一方、算術平均は (2 + 2 + 2) / 3 = 2 倍になり、実際のリターンの増加率を反映しません。
幾何平均を用いた統計学
統計学における幾何平均は、データの傾向を把握するための重要なツールです。これは、データセット内の各値のn乗根の平均を計算し、次にその値のn乗根を計算することで求めます。例えば、{1, 2, 4, 8}というデータセットでは、幾何平均は(1×2×4×8)^(1/4) = 2.5298になります。
統計学では、幾何平均は、成長率や投資収益率など、一定期間にわたる割合の変化を測定するために使用されます。また、データのばらつきを減らす際にも使用されます。例えば、資産ポートフォリオのリターンの幾何平均を計算すると、リターンの平均値よりも正確にポートフォリオの全体の成長率がわかります。
幾何平均を用いた機械学習
-幾何平均を用いた機械学習-
統計学の分野では、幾何平均は、与えられたデータセットの傾向を理解するために使用されます。これは、算術平均（平均値）と対照的です。算術平均はデータ内の極値の影響を受けやすくなりますが、幾何平均はデータの変化の率を表すのにより適しています。
機械学習において、幾何平均は、モデルのパフォーマンスを評価するためのメトリックとして使用されます。例えば、ロジスティック回帰モデルの精度を評価するために、正解率の幾何平均を使用することができます。これは、モデルが過学習をせず、データ全体にわたって安定したパフォーマンスを維持しているかどうかを判断するのに役立ちます。
さらに、幾何平均は、時系列データのモデリングにも使用されます。株価などの時系列データは、しばしば指数関数的に増加または減少します。幾何平均は、このようなデータの成長率をより正確に捉えるのに役立ちます。
全体として、幾何平均は、機械学習において、モデルのパフォーマンス評価から時系列データのモデリングまで、さまざまな用途を持つ強力なツールです。
幾何平均の応用例
幾何平均の応用例
幾何平均は、さまざまな分野で幅広く使用されています。数学では、複利計算や成長率の計測に使用されます。統計学では、データのばらつきを示す指標として、標準偏差に類似したジオメトリック標準偏差の計算に使用されます。
機械学習では、最適化アルゴリズムに幾何平均が使用され、勾配降下法やニューラルネットワークの学習に役立てられています。また、時系列データや株価データの分析にも使用され、トレンドやパターンを捉えるのに役立ちます。