高速フーリエ変換（FFT）とは？
AI初心者
先生、「高速フーリエ変換」ってなんですか？
AI研究家
「高速フーリエ変換」は、信号に含まれる周波数成分を解析するためのアルゴリズムだよ。
AI初心者
フーリエ変換って、計算量が多いんですよね？
AI研究家
そうだね。一般的なフーリエ変換では計算量はN^2だけど、高速フーリエ変換ではN・log2(N)で済むんだ。
高速フーリエ変換とは。
AI分野で用いられる「高速フーリエ変換（FFT）」とは、信号に含まれる周波数成分を分析するアルゴリズムのことです。FFTを利用すると、音声信号を周波数スペクトルに変換できます。
一般的な離散フーリエ変換は計算量が乗算でO（N^2）ですが、FFTを使うと計算量はO（N・log2（N））に削減できます。
この画像では、周波数10、20、40[Hz]の合成波をFFTした結果を示しています。右側の図を見ると、実際に出力結果に10、20、40[Hz]の周波数スペクトルが得られていることがわかります。
高速フーリエ変換とは何か
-高速フーリエ変換（FFT）とは何か-
高速フーリエ変換（FFT）は、離散フーリエ変換（DFT）を高速に計算するためのアルゴリズムです。DFTは、離散時間信号を周波数ドメインに変換する数学的ツールですが、計算量が膨大になるという課題があります。そこでFFTは、DFTの計算量を大幅に削減し、効率的に周波数分析を行うことを可能にします。
FFTは、信号をより小さな部分に分割し、それぞれの部分のDFTを計算することで、全体的な計算量を削減します。この分割により、DFTの計算量が元の信号長の2のべき乗から信号長の対数の2乗に低減されます。この時間的効率により、FFTは信号処理、イメージング、数値解析などの広範な分野で広く利用されています。
FFTの仕組み
-FFTの仕組み-
FFT（高速フーリエ変換）は、離散フーリエ変換（DFT）を高速に計算するためのアルゴリズムです。DFTは信号の時間領域表現を周波数領域表現に変換する数学的な変換ですが、FFTはDFTよりも計算量が大幅に少なく、効率的に周波数スペクトルを分析できます。
FFTの主な原理は、N個の点からなる信号を、2の累乗個の数に分割し、各部分をより小さなFFTブロックに分けて計算していくことです。これにより、DFTの計算量をN^2からNlogNに削減できます。
FFTは、信号処理、画像処理、データ圧縮など、さまざまな分野で広く使用されています。時間領域から周波数領域への変換だけでなく、逆FFTを使って周波数領域からの時間領域への変換も可能です。
FFTの計算量
FFTの計算量
FFTの計算量は、入力データの長さNに依存します。一般的なアルゴリズムでは、計算量はO(N log N)です。つまり、データの長さがN倍になると、計算時間はlog N倍になります。この計算量は、他のフーリエ変換アルゴリズムよりも大幅に高速です。たとえば、単純なフーリエ変換では、計算量がO(N^2)になり、データの長さがN倍になると、計算時間はN^2倍になります。
FFTの応用例
–FFTの応用例–
FFTは、さまざまな分野で広く応用されています。最も一般的な応用の一つは、デジタル信号処理で、音声、画像、ビデオなどの信号を分析・操作するために使用されています。また、スペクトル分析でも広く用いられ、信号の周波数成分を特定するために利用されています。
さらに、FFTは医療画像処理にも使用され、CTやMRI画像の処理や分析を高速化しています。また、気象予測や地震学でも、データの分析と予測に使用されています。
さらに、FFTは音楽処理でも重要な役割を果たしており、音色の解析や音楽の圧縮に使用されています。
高速フーリエ変換の例
高速フーリエ変換（FFT）の応用例をいくつか紹介します。FFTは信号処理や画像処理など、さまざまな分野で使用されています。
音楽の分析では、FFTを使用して楽器や人の声の周波数を識別できます。これにより、音楽の構成を理解したり、特定の楽器や歌手の識別が容易になります。医療画像処理では、FFTを使用してCTスキャンやMRI画像のノイズを除去したり、臓器の境界線を強調したりできます。これにより、診断の精度が向上します。
画像の圧縮では、FFTを使用して画像内の空間周波数を分析することで、より効率的に圧縮できます。これにより、画像のサイズが縮小され、伝送や処理が容易になります。